Question

已知θ∈（-

π

6

，

π

6

），等比数列{a_n}中，a₁=1，a₄=

3

9

tan33θ，若数列{a_n}的前2014项的和为0，则θ的值为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和,同角三角函数基本关系的运用

专题：等差数列与等比数列,三角函数的图像与性质

分析：根据等比数列的通项公式求出公比，利用数列{a_n}的前2014项的和为0，确定公比的取值，利用正切函数的图象和性质即可得到结论．

解答： 解：等比数列{a_n}中，a₁=1，a₄=

3

9

tan33θ，
则a₄=

3

9

tan33θ=1•q³，
即q=

tan3θ

3

，
若数列{a_n}的前2014项的和为0，
若q=1，则不满足条件，
若q≠1，则

1-q2014

1-q

=0，即q=-1，
即q=

tan3θ

3

=-1，
∴tan3θ=-

3

，
∵θ∈（-

π

6

，

π

6

），
∴3θ∈（-

π

2

，

π

2

），即3θ=-

π

3

，
即θ=-

π

9

，
故答案为：-

π

9

点评：本题主要考查等比数列的性质，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键．