Question

已知函数f（x）=|x-a|+

4

x

．
（1）若f（x）=2恰有两个实数根，求a的值；
（2）若?x∈（0，+∞）都有f（x）≥1恒成立，求a的范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由题意可得，函数y=|x-a|的图象（蓝色部分）和函数y=2-

4

x

的图象（红色部分）由2个交点，数形结合求得a的范围．
（2）由题意可得，对?x∈（0，+∞），f_min（x）≥1．再分①若a≤0和②若a＞0两种情况，分别求得a的范围，综合可得结论．

解答： 解：（1）对于函数f（x）=|x-a|+

4

x

，
若f（x）=2恰有两个实数根，
则函数y=|x-a|的图象（蓝色部分）和函数y=2-

4

x

的图象
（红色部分）由2个交点．
如图所示：故有a≥2．
（2）若?x∈（0，+∞）都有f（x）≥1恒成立，
故f_min（x）≥1．
①若a≤0，由函数f（x）=|x-a|+

4

x

=x-a+

4

x

≥4-a≥1，
求得a≤3，故有a≤0．
②若a＞0，当x≥a时，f（x）=x+

4

x

-a≥4-a≥1，∴a≤3，故有0＜a≤3．
当0＜x＜a时，f（x）=a-x+

4

x

 在（0，a）上是减函数，∴f（x）＞

4

a

≥1，求得a≤4，故有0＜a≤4．
综上可得，a≤3．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，基本不等式的应用，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．