Question

19. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

（Ⅰ）证明PA//平面EDB；

（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD；

（Ⅲ）求二面角C－PB－D的大小.

Answer 1

19. 本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.

方法一：

（Ⅰ）证明：连结AC，AC交BD于O.连结EO.

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点.

在△PAC中，EO是中位线,∴PA∥EO.

而EO平面EDB且PA平面EDB，

所以，PA∥平面EDB.

（Ⅱ）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PD⊥DC.

∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，

∴DE⊥PC.                                                                                 ①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，

∴BC⊥平面PDC.

而DE平面PDC，∴BC⊥DE.                                                  ②

由①和②推得DE⊥平面PBC.

而PB平面PBC,∴DE⊥PB.

又EF⊥PB且DE∩EF=E,所以PB⊥平面EFD.

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知PB⊥DF,故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角.

由（Ⅱ）知,DE⊥EF,PD⊥DB.

设正方形ABCD的边长为a,则PD=DC=a,BD=a,

PB==a,

PC==a,

DE=PC=a.

在Rt△PDB中,

DF===a.

在Rt△EFD中,

sinEFD===,∴∠EFD=.

所以,二面角C－PB－D的大小为.

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设DC=a.

（Ⅰ）证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.

依题意得A（a,0,0）,P（0,0,a）,E（0,, ）.

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为（,,0）且

=（a,0,－a）,=（ ,0,－）.

∴=2.这表明PA∥EG.

而EG平面EDB且PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB.

（Ⅱ）证明：依题意得B（a,a,0）,=（a,a,－a）.

又=（0,, ），

故·=0+－=0.

∴PB⊥DE.

由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E,所以PB⊥平面EFD.

（Ⅲ）解：设点F的坐标为（x₀,y₀,z₀）,=λ，则

（x₀,y₀,z₀－a）=λ（a,a,－a）.

从而x₀=λa,y₀=λa,z₀=（1－λ）a.

所以=（－x₀,－y₀,－z₀）=［－λa,（－λ）a,（λ－）a］.

由条件EF⊥PB知·=0，即

－λa²+（－λ）a²－（λ－）a²=0,

解得λ=.

∴点F的坐标为（,,），且

=（－,,－）,=（－,－,－）.

∴·=－－+=0,

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角.

∵·=－+=，且

||==a,

||==,

∴cosEFD===.

∴∠EFD=.

所以，二面角C－PB－D的大小为.