Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明PA∥平面EDB；
（2）求证：平面BDE⊥平面PBC；
（3）求PB与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲证PA∥平面EDB，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面EDB内一直线平行，连接AC，交BD于O，连接EO，根据中位线定理可知EO∥PA，PA?平面EDB，EO?平面EDB，满足定理所需条件；
（2）证明平面BDE⊥平面PBC，只需证明DE⊥平面PBC；
（3）根据线面所成角的定义可知∠PBD是PB与底面ABCD所成的角，从而可求PB与底面ABCD所成角的正切值；．

解答：（1）证明：连接AC，交BD于O，连接EO，则O是AC的中点．
∵E是PC的中点，∴EO∥PA，
∵PA?平面EDB，EO?平面EDB，
∴PA∥平面EDB；
（2）证明：∵PD=DC，E是PC的中点，
∴DE⊥PC，
∵PD⊥底面ABCD，
∴BC?底面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵底面ABCD是正方形，
∴BC⊥DC，
∵PD∩DC=D，
∴BC⊥平面PDC，
∴BC⊥DE，
∵PC∩BC=C，
∴DE⊥平面PBC，
∵DE?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面PBC；
（3）解：∵PD⊥底面ABCD，
∴∠PBD是PB与平面ABCD所成角，
∵底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，
∴tan∠PBD=

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点评：本题考查直线与平面平行的判定，以及直线与平面所成角和二面角及其度量，考查面面垂直，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，正确运用线面平行、面面垂直的判定定理是关键．