Question

（2010•广东模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA垂直于底面ABCD，PA=AD=AB=2BC=2，M，N分别为PC，PB的中点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积V；（2）求证：PB⊥DM；（3）求截面ADMN的面积．

Answer 1

分析：（1）由已知中PA=AD=AB=2BC=2，可求出底面ABCD的面积，由PA垂直于底面ABCD，可得PA即为棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案．
（2）由PA=AB，N为PB中点，可得AN⊥PB，由A点三棱相互垂直，可得AD⊥平面PAB，进而AD⊥PB，结合线面垂直的判定定理可得PB⊥平面ANMD，进而得到PB⊥DM；
（3）由已知及（2）中结论，可得截面ADMN为直角梯形，求出上下底及高，代入梯形面积公式，可得答案．

解答：（1）解：由AD=AB=2BC=2，得底面直角梯形ABCD的面积
S=

BC+AD

2

×AB=3，
由PA⊥底面ABCD，得四棱锥P-ABCD的高h=PA=2，
所以四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

Sh=

1

3

×3×2=2．       …（4分）
（2）证明：因为N是PB的中点，PA=PB，所以AN⊥PB．   …（5分）

由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AD，…（6分）
又∠BAD=90°，即BA⊥AD，
∴AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，…（8分）
∴PB⊥平面ADMN，
∴PB⊥DM．                      …（10分）
（3）由M，N分别为PC，PB的中点，得MN∥BC，且MN=

1

2

BC=

1

2

，
又AD∥BC，故MN∥AD，
由（2）得AD⊥平面PAB，又AN?平面PAB，故AD⊥AN，
∴四边形ADMN是直角梯形，
在Rt△PAB中，PB=

PA2+AB2

=2

2

，
AN=

1

2

PB=

2

，
∴截面ADMN的面积S=

1

2

（MN+AD）×AN=

5 2

4

．  …（14分）

点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，棱锥的体积，（1）的关键是计算出棱锥的底面面积及高，（2）的关键是证明 得PB⊥平面ANMD，（3）的关键是判断出截面的形状．