题目内容

20．已知x，y，z都是正数且xyz=8，求证：（2+x）（2+y）（2+z）≥64．

分析 利用基本不等式，即可证明结论．

解答 证明：因为x为正数，所以2+x≥2$\sqrt{2x}$，
同理2+y≥2$\sqrt{2y}$，2+z≥2$\sqrt{2z}$，
所以（2+x）（2+y）（2+z）≥2$\sqrt{2x}$•2$\sqrt{2y}$•2$\sqrt{2z}$=8$\sqrt{8xyz}$
因为xyz=8，所以（2+x）（2+y）（2+z）≥8

点评 本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案
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10．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线l，l与抛物线的一个交点为A（xA，yA），与抛物线的准线交于点B（xB，yB），且yA＞0，yB＜0，F为AB的中点，|AF|=4．
（1）求抛物线的方程及直线l的斜率；
（2）平行于AB的直线与抛物线交于C、D两点，若在抛物线上存在一点P，使得直线PC与PD的斜率之积为-4，求直线CD在y轴上截距的最大值．
11．已知极坐标系中的曲线ρcos2θ=sinθ与曲线ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$交于A，B两点，求线段AB的长．
8．设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
（1）若p=2且∠BFD=90°时，求圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，设直线m与抛物线C的另一个交点为E，在y轴上求一点G，使得∠OGE=∠OGA．
15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使|$\overrightarrow{AB}$|=λ$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
5．椭圆M：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，点P（0，2）关于直线y=-x的对称点在椭圆M上．
（1）求椭圆M的方程；
（2）如图，椭圆M的上、下顶点分别为A，B，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D．
①求$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$的取值范围；
②当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
12．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为4，则输出的数是（　　）
A．16B．4C．64D．8
9．某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位为米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，l=2r+1（l为圆柱的高，r为球的半径，l≥2）．假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元．设该储油罐的建造费用为y千元．
（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）若预算为8万元，求所能建造的储油罐中r的最大值（精确到0.1），并求此时储油罐的体积V（单位：立方米，精确到0.1立方米）．
10．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，若Γ与圆E：（x-$\frac{3}{2}$）2+y2=1相交于M，N两点，且圆E在Γ内的弧长为$\frac{2}{3}$π．
（I）求a，b的值；
（II）过Γ的中心作两条直线AC，BD交Γ于A，C和B，D四点，设直线AC的斜率为k1，BD的斜率为k2，且k1k2=$\frac{1}{4}$．
（1）求直线AB的斜率；
（2）求四边形ABCD面积的取值范围．

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