Question

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使|$\overrightarrow{AB}$|=λ$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，2a+2c=6，a²=b²+c²，联立解出即可得出椭圆C的方程．
（2）F（-1，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．当直线l的斜率不存在时，x₁=-1，不妨取y₁=$\frac{3}{2}$，可得λ=$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{FA}||\overrightarrow{FB}|}$=-$\frac{4}{3}$．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程整理为：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，△＞0，利用根与系数的关系可得$|\overrightarrow{AB}|$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂，计算$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{FA}||\overrightarrow{FB}|}$即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，2a+2c=6，a²=b²+c²，解得a=2，c=1，b²=3．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）F（-1，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．当直线l的斜率不存在时，x₁=-1，
不妨取y₁=$\frac{3}{2}$，|$\overrightarrow{AB}$|=3，$\overrightarrow{FA}$=$（0，\frac{3}{2}）$，$\overrightarrow{FB}$=$（0，-\frac{3}{2}）$.$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=$-\frac{9}{4}$，
则λ=$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{FA}||\overrightarrow{FB}|}$=$\frac{3}{-\frac{9}{4}}$=-$\frac{4}{3}$．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，整理为：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
△=64k⁴-4（4k²+3）（4k²-12）=12²（1+k²）＞0，
x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$.$|\overrightarrow{AB}|$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+3}$，
$\overrightarrow{FA}$=（x₁+1，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂+1，y₂）..$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=（k²+1）[x₁x₂+（x₁+x₂）+1]=$\frac{-9（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+3}$，
则$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{FA}||\overrightarrow{FB}|}$=$\frac{\frac{12（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+3}}{\frac{-9（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+3}}$=-$\frac{4}{3}$．
综上所述：可得存在常数λ=-$\frac{4}{3}$，使|$\overrightarrow{AB}$|=λ$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$恒成立．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量数量积运算性质、弦长公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．