题目内容
在正三棱锥S-ABC中，外接球的表面积为16π，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，则此三棱锥侧棱SA= ．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积
专题：空间位置关系与距离
分析：由题意可证MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，由此利用外接球的表面积公式求出直径，再求出SA．
解答：
解：∵三棱锥S-ABC正棱锥，
∴SB⊥AC（对棱互相垂直），MN∥SB，∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM，AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，
将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，
设SA=SB=SC=a，外接球的半径为R，
则4πR2=16π，∴R=2，
∴2R=4=
，a=
．
故答案为：
．
∴SB⊥AC（对棱互相垂直），MN∥SB，∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM，AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，
将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，
设SA=SB=SC=a，外接球的半径为R，
则4πR2=16π，∴R=2，
∴2R=4=
| 3a2 |
4
| ||
| 3 |
故答案为：
4
| ||
| 3 |
点评：考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．
练习册系列答案
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A、
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B、
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C、-
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D、-
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