Question

【题目】已知函数， .

（1）求函数的单调区间；

（2）若不等式区间上恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：

Answer 1

【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）

（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）求出，由，结合函数的定义域解得的范围，就是函数的增区间；（2）问题转化为大于等于的最大值，利用导数求得函数有最大值，且最大值为，得到；（3）先判断，得，用放缩法证明，即得要证的不等式.

试题解析：（1）∵，故其定义域为，

∴，令，得，令，得.

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）∵， ，∴，令

又，令解得.

当在内变化时， ， 变化如下表

	+	0	-

由表知，当时函数有最大值，且最大值为，所以，

（3）由（2）知，∴（）

∴

∴

即

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题（2）是利用方法 ① 求得的最大值.