Question

【题目】已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，且点在该椭圆上。

（I）求椭圆C的方程；

（II）过椭圆C的左焦点的直线l与椭圆C相交于两点，若的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程。

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）设出椭圆的标准方程，根据离心率求得a和c关系，进而根据a2=b2+c2，求得a和b的关系，把点C坐标代入椭圆方程求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．

（2）先看当l与x轴垂直时，可求得A，B的坐标，进而求得三角形AOB的坐标，不符合题意；再看直线l斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），进而求得x1+x2和x1x2的表达式，进而表示出|AB|，进而求得圆的半径后表示出三角形AOB的面积，求得k，进而求得圆的半径，则圆的方程可得．

解析：

（1）设椭圆C的方程为，（ ），由题意可得

又，所以

因为椭圆C经过（1， ），代入椭圆方程有

解得

所以c=1， 故椭圆C的方程为

（II）当直线轴时，计算得到： ，

，不符合题意

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为： ，

由消去y，得

显然成立，设，

则， 又

即

又圆O的半径

所以

化简，得，即

解得， （舍）

所以， ，故圆O的方程为： 。