Question

【题目】已知常数，向量， ，经过点，以为方向向量的直线与经过点，以为方向向量的直线交于点，其中．

（）求点的轨迹方程，并指出轨迹．

（）若点，当时， 为轨迹上任意一点，求的最小值．

Answer 1

【答案】（），轨迹见解析（）

【解析】试题分析：

（1）由题意求得直线的方程，消去参数可得点的轨迹方程为，通过对的讨论可得轨迹可能为圆、焦点在x轴上的椭圆或焦点在y轴上的椭圆。（2）当时，轨迹的方程为，设点

,根据两点间的距离可得，故当时， 取得最小值。

试题解析：

（）由题意得，

∴直线的方程为： ①，

又，

∴直线的方程为： ②，

由①，②消去参数得，

整理得，

故点的轨迹方程为．

当时，轨迹是以为圆心，半径为的圆；

当时，轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆；

当时，轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆．

（）当时，轨迹的方程为，

∵为轨迹是任意一点，

∴设点，

则

∵，

∴当时， 取得最小值．