Question

13．已知α，β是三次函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}$+2bx的两个极值点，且 α∈（0，1），β∈（1，2），则$\frac{b-1}{a-1}$的范围（　　）

• A． $（0，\frac{1}{2}）$
• B． （0，1）
• C． $（-\frac{1}{2}，0）$
• D． （-1，0）

Answer 1

分析 利用函数有两个极值，则f′（x）=0有两个不同的根，即△＞0，又f'（x）=x²+ax+2b，又α∈（0，1），β∈（1，2），列出关系式．通过$\frac{b-1}{a-1}$的几何意义是指动点P（a，b）到定点A（2，3）两点斜率的取值范围，做出可行域，能求出$\frac{b-1}{a-1}$的取值范围．

解答 解：因为函数有两个极值，
则f′（x）=0有两个不同的根，
即△＞0，
又f′（x）=x²+ax+2b，
又α∈（0，1），β∈（1，2），
所以有$\left\{\begin{array}{l}f′（0）＞0\\ f′（1）＜0\\ f′（2）＞0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}2b＞0\\ 1+a+2b＜0\\ 4+2a+2b＞0\end{array}\right.$．
$\frac{b-1}{a-1}$的几何意义是指动点P（a，b）到定点A（1，1）两点斜率的取值范围，
做出可行域如图，B（-1，0），D（-3，1）．
由图象可知当直线经过AB时，斜率最大，
此时斜率为k=$\frac{0-1}{-1-1}$=$\frac{1}{2}$，
直线经过AD时，斜率最小，
此时斜率为k=0，
所以0＜$\frac{b-1}{a-1}$＜$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查函数在某点取得极值的应用，线性规划的简单应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意可行域的合理运用．