题目内容

9．根据数列极限的定义证明：
（1）$\underset{lim}{n→∞}（-1）^{n}\frac{1}{{n}^{2}}$；   
（2）$\underset{lim}{n→∞}\frac{3n+1}{2n+1}$；
（3）$\underset{lim}{n→∞}$$\underset{\underbrace{0.999…9}}{n个}$=1；
（4）$\underset{lim}{n→∞}\frac{sinn}{n}$=0．

分析 （1）设an=（-1）n，bn=$\frac{1}{n^2}$，根据{an}的有界性，求极限；
（2）分式型极限，将分子分母除以n，$\frac{3n+1}{2n+1}$=$\frac{3+\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}}$，再求极限；
（3）原式可化为：9×（$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{10^2}$+$\frac{1}{10^3}$+…+$\frac{1}{10^n}$），再运用等比数列求和，再求极限；
（4）设an=sinn，bn=$\frac{1}{n}$，根据{an}的有界性，求极限；

解答 解：（1）设an=（-1）n，bn=$\frac{1}{n^2}$，
∵|an|≤1，∴{an}是有界数列，且$\underset{lim}{n→∞}$bn=0，
因此，原式=$\underset{lim}{n→∞}$[an•bn]=0；
（2）∵$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=0，∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{3n+1}{2n+1}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{3+\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}}$=$\frac{3}{2}$；
（3）$\underset{\underbrace{0.999…9}}{n个}$=0.9+0.09+0.009+…+0.000…9
=9×（$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{10^2}$+$\frac{1}{10^3}$+…+$\frac{1}{10^n}$）=9×$\frac{\frac{1}{10}（1-\frac{1}{10^n}）}{1-\frac{1}{10}}$=1-$\frac{1}{10^n}$，
所以，$\underset{lim}{n→∞}$$\underset{\underbrace{0.999…9}}{n个}$=$\underset{lim}{n→∞}$（1-$\frac{1}{10^n}$）=1；
（4）设an=sinn，bn=$\frac{1}{n}$，
∵|an|≤1，∴{an}是有界数列，且$\underset{lim}{n→∞}$bn=0，
因此，原式=$\underset{lim}{n→∞}$[an•bn]=0．

点评 本题主要考查了极限及其运算，以及两个数列乘积极限的运算法则，等比数列的求和公式，属于中档题．

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