Question

4．设数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$，n∈N，^*
（1）求a₂，a₃；
（2）证明：数列{a_n}为递增数列
（3）证明：$\frac{n}{2n+1}$≤a_n$≤\frac{2n-1}{2n+1}$，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）由数列的递推公式，即可求得a₂，a₃；
（2）a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$，n∈N，采用累加法，a_n-a₁=$\frac{{a}_{1}^{2}}{{1}^{2}}$+$\frac{{a}_{2}^{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}^{2}}{（n-1）^{2}}$≥0，则数列{a_n}为正项数列，则a_n-a_n-1=$\frac{{a}_{n-1}^{2}}{（n-1）^{2}}$＞0，数列{a_n}为递增数列；
（3）先证a_n$≤\frac{2n-1}{2n+1}$，由（2）可知a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$＜a_n+$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{n}^{2}}$，可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$＞-$\frac{1}{{n}^{2}}$，采用累加法及裂项法即可求得$\frac{1}{{a}_{n}}$＞1+$\frac{1}{n-1}$=$\frac{n}{n-1}$，则a_n＜$\frac{n-1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$＜1-$\frac{2}{2n+1}$=$\frac{2n-1}{2n+1}$，同理，即可证明a_n≥$\frac{n}{2n+1}$，即可证明$\frac{n}{2n+1}$≤a_n$≤\frac{2n-1}{2n+1}$．

解答 解：（1）a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$，
则a₂=a₁+$\frac{{a}_{1}^{2}}{{1}^{2}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{4}{9}$，
a₃=a₂+$\frac{{a}_{2}^{2}}{{2}^{2}}$=$\frac{40}{81}$，
（2）证明：a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$，
则a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$，n∈N，^*
a₂-a₁=$\frac{{a}_{1}^{2}}{{1}^{2}}$，
a₃-a₂=$\frac{{a}_{2}^{2}}{{2}^{2}}$，
…
a_n-a_n-1=$\frac{{a}_{n-1}^{2}}{（n-1）^{2}}$，
以上各式相加得：a_n-a₁=$\frac{{a}_{1}^{2}}{{1}^{2}}$+$\frac{{a}_{2}^{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}^{2}}{（n-1）^{2}}$≥0，
∴a_n≥a₁＞0，
∴数列{a_n}为正项数列，
∴a_n≥a_n-1恒成立，
∴a_n-a_n-1=$\frac{{a}_{n-1}^{2}}{（n-1）^{2}}$＞0，
∴数列{a_n}为递增数列；
（3）证明：先证a_n$≤\frac{2n-1}{2n+1}$，
当n=1时，显然成立，
由（2）可知a_n＞0，a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$，n∈N，
∴a_n+1≥a_n恒成立，
∴a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$＜a_n+$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{n}^{2}}$，
两边同除以a_n+1a_n，整理得：$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$，
则$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$＞-$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$＞-$\frac{1}{（n-1）^{2}}$，
…
$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＞-$\frac{1}{{1}^{2}}$，
以上各式相加$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＞[$\frac{1}{（n-1）^{2}}$+…+$\frac{1}{{1}^{2}}$]，n≥2，
∵$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＞-（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$+…+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{1}^{2}}$）=-（2-$\frac{1}{n-1}$）=$\frac{1}{n-1}$-2，
由a₁=$\frac{1}{3}$，则$\frac{1}{{a}_{n}}$-3＞$\frac{1}{n-1}$-2，
$\frac{1}{{a}_{n}}$＞1+$\frac{1}{n-1}$=$\frac{n}{n-1}$，
∴a_n＜$\frac{n-1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$＜1-$\frac{2}{2n+1}$=$\frac{2n-1}{2n+1}$，
再证a_n≥$\frac{n}{2n+1}$，

由a₁=$\frac{1}{3}$≥$\frac{1}{2+1}$，
由a_n＜1，则a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$＜a_n+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$，
∴a_n＞$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$•a_n+1，
∴a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$＞a_n+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$•$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$•a_n+1=a_n+$\frac{1}{{n}^{2}+1}$•a_na_n+1，
两端同时除以a_na_n+1，$\frac{1}{{a}_{n}}$＞$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{n}^{2}+1}$，
$\frac{1}{{a}_{n}}$＞$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{n}^{2}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$＜$\frac{1}{（n-1）^{2}+1}$，
…
$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{{1}^{2}+1}$，
以上各式相加的：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＜-[$\frac{1}{（n-1）^{2}+1}$+…+$\frac{1}{{1}^{2}+1}$]，
由$\frac{1}{{n}^{2}+1}$＞$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＜-（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$+…+1-$\frac{1}{2}$）=-（1-$\frac{1}{n}$），
$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＜$\frac{1}{{a}_{n}}$-3＜-（1-$\frac{1}{n}$），

$\frac{1}{{a}_{n}}$＜3-1+$\frac{1}{n}$=$\frac{2n+1}{n}$，
a_n≥$\frac{n}{2n+1}$，
∴$\frac{n}{2n+1}$≤a_n$≤\frac{2n-1}{2n+1}$，n∈N^*．

点评 本题考查了数列和不等式的关系，关键是放缩和裂项求和，累加求和，考查了学生的运算能力，转化能力，属于难题．