Question

20．（I）求|2x-1|+|2x+3|＜5的解集；
（II）设a，b，c均为正实数，试证明不等式$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}≥\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}$，并说明等号成立的条件．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅰ）根据$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2b}$）≥$\frac{1}{2\sqrt{ab}}$≥$\frac{1}{a+b}$，当且仅当a=b时等号成立，同理得到其它，相加即可得以证明．

解答 解：（Ⅰ）由|2x-1|+|2x+3|＜5，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{3}{2}}\\{1-2x-2x-3＜5}\end{array}\right.$①，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}≤x＜\frac{1}{2}}\\{1-2x+2x+3＜5}\end{array}\right.$②，$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{2x-1+2x+3＜5}\end{array}\right.$，③，
解①求得x∈∅，解②求得-$\frac{3}{2}$≤x＜$\frac{1}{2}$，解③求得$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{3}{4}$，
综上可得，不等式|2x-1|+|2x+3|＜5的解集为{x|-$\frac{3}{2}$≤x＜$\frac{3}{4}$}；
（Ⅱ）证明：∵a，b，c均为正实数，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2b}$）≥$\frac{1}{2\sqrt{ab}}$≥$\frac{1}{a+b}$，当且仅当a=b时等号成立；
$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{2c}$）≥$\frac{1}{2\sqrt{bc}}$≥$\frac{1}{b+c}$，当且仅当b=c时等号成立；
$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2c}$）≥$\frac{1}{2\sqrt{ac}}$≥$\frac{1}{c+a}$，当且仅当a=c时等号成立；
三个不等式相加，得$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}≥\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}$，当且仅当a=b=c时等号成立．

点评 本题考查了绝对值值不等式的解法和基本不等式的应用，关键是掌握其性质，并注意等号成立的条件，属于中档题．