Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，点E是PA的中点，AB=BC=1，AD=2．求证：
（1）平面PCD⊥平面PAC；
（2）BE∥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）取AD中点F，连结AC、CF，由勾股定理得AC⊥DC，由线面垂直得CD⊥PA，由此能证明平面PCD⊥平面PAC．
（2）取PD中点G，连结EG、CG，由已知得四边形BCGE是平行四边形，从而BE∥CG，由此能证明BE∥平面PCD．

解答 证明：（1）取AD中点F，连结AC、CF，
∵在四棱锥P-ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，
点E是PA的中点，AB=BC=1，AD=2，
∴AF=DF=CF=1，CF⊥DF，
∴CD=AC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，∴AC²+CD²=AD²，
∴AC⊥DC，
∵PA⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，∴CD⊥PA，
∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，
∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC．
（2）取PD中点G，连结EG、CG，
∵在四棱锥P-ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，
点E是PA的中点，AB=BC=1，AD=2，
∴EG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，BC$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，
∴EG$\underset{∥}{=}$BC，∴四边形BCGE是平行四边形，
∴BE∥CG，
∵BE?平面PCD，CG?平面PCD，
∴BE∥平面PCD．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．