题目内容

10．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x≥1}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2，x＜1}\end{array}\right.$且满足对任意的实数x1≠x2都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，+∞）B．（1，8）C．（4，8）D．[4，8）

分析 若对任意的实数x1≠x2都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，则函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x≥1}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2，x＜1}\end{array}\right.$在R上单调递增，进而可得答案．

解答 解：∵对任意的实数x1≠x2都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，
∴函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x≥1}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2，x＜1}\end{array}\right.$在R上单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ 4-\frac{a}{2}＞0\\ a≥4-\frac{a}{2}+2\end{array}\right.$，
解得：a∈[4，8），
故选：D

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．

练习册系列答案
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