Question

2．已知点P为线段y=2x，x∈[2，4]上任意一点，点Q为圆C：（x-3）²+（y+2）²=1上一动点，则线段|PQ|的最小值为$\sqrt{37}$-1．

Answer 1

分析 用参数法，设出点P（x，2x），x∈[2，4]，求出点P到圆心C的距离|PC|，计算|PC|的最小值即可得出结论．

解答 解：设点P（x，2x），x∈[2，4]，
则点P到圆C：（x-3）²+（y+2）²=1的圆心距离是：
|PC|=$\sqrt{（x-3）^{2}+（2x+2）^{2}}$=$\sqrt{5{x}^{2}+2x+13}$，
设f（x）=5x²+2x+13，x∈[2，4]，
则f（x）是单调增函数，且f（x）≥f（2）=37，
所以|PC|≥$\sqrt{37}$，
所以线段|PQ|的最小值为$\sqrt{37}$-1．
故答案为：$\sqrt{37}$-1．

点评 本题考查了两点间的距离公式与应用问题，也考查了求函数在闭区间上的最值问题，是基础题目．