Question

已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，公比为q，若

q(S6-S3)

S9-S6

=

1

4

，且10是a₂，a₄的等差中项．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b_n=

n

an

，记数列{b_n}的前n项和为T_n，若对于任意的n∈N^*，恒有T_2n＞（-1）^n-1t-

2n

4n

，试求t的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的性质，列出方程解得首项及公比即得结论；
（2）利用错位相减法求得T_2n=2-

1

22n-1

-

2n

4n

，则对于任意的n∈N^*，恒有T_2n＞（-1）^n-1t-

2n

4n

，等价于2-

1

22n-1

＞（-1）^n-1t恒成立，即只要2-

1

22n-1

的最小值大于（-1）^n-1t恒成立，进而求得结论．

解答： 解：由

q(S6-S3)

S9-S6

=

1

4

，得4q（a₄+a₅+a₆）=a₇+a₈+a₉，即4q=q³，∴q=2，
又10是a₂，a₄的等差中项．
∴a₁q+a₁q³=20，解得a₁=2，
∴a_n=2ⁿ；
（2）b_n=

n

an

=n•

1

2n

，
∴T_n=1•

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+…+n•

1

2n

，

1

2

T_n=1•

1

22

+2•

1

23

+…+（n-1）•

1

2n

+n•

1

2n+1

，
两式作差得，

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-n•

1

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴T_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

，
∴T_2n=2-

1

22n-1

-

2n

4n

，
∵对于任意的n∈N^*，恒有T_2n＞（-1）^n-1t-

2n

4n

，即2-

1

22n-1

＞（-1）^n-1t恒成立，
又2-

1

22n-1

的最小值为

3

2

，
∴当n为奇数时，由

3

2

＞t得，t＜

3

2

，
当n为偶数时，由

3

2

＞-t得，t＞-

3

2

，
∴综上所述，t的取值范围是（-

3

2

，

3

2

）．

点评：本题主要考查等差数列、等比数列的性质及利用错位相减法求数列和知识，考查学生的运算求解能力及恒成立问题的转化能力，综合性强，属难题．