Question

19．已知函数f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）+m（m∈R），当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最小值为-1．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，已知f（C）=1，AC=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1．由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用正弦函数的性质可求2sin（2x+$\frac{π}{6}$）_min=-1，结合已知可求m的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，结合范围C∈（0，π），可求C=$\frac{π}{3}$，设BD=BC=x，则AB=5-x，在△ACB中，由余弦定理可解得x，进而由余弦定理可求cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）+m
=4cosx（sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$）+m
=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x+m
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1+m
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，可得：2sin（2x+$\frac{π}{6}$）_min=-1，
∴f（x）=-1=-1+m+1，解得：m=-1．
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴2sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，
∵C∈（0，π），可得：2C+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），
∴2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得：C=$\frac{π}{3}$，
如图，设BD=BC=x，则AB=5-x，
∵在△ACB中，由余弦定理可得：cosC=$\frac{1}{2}$=$\frac{{4}^{2}+{x}^{2}-（5-x）^{2}}{2×4×x}$，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴cosA=$\frac{{4}^{2}+（5-\frac{3}{2}）^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}{2×4×（5-\frac{3}{2}）}$=$\frac{13}{14}$，可得：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•AD•sinA=$\frac{1}{2}×5×4×$$\frac{3\sqrt{3}}{14}$=$\frac{15\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．