题目内容

4．F1、F2分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（　　）
A．$\sqrt{2}$B．$\sqrt{3}$C．$\sqrt{5}$D．$\sqrt{7}$

分析 由双曲线的定义，可得F1A-F2A=F1A-AB=F1B=2a，BF2-BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．

解答 解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，
A为双曲线上一点，F1A-F2A=F1A-AB=F1B=2a，
B为双曲线上一点，则BF2-BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，
由∠ABF2=60°，则∠F1BF2=120°，
在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2-2•2a•4a•cos120°，
得c2=7a2，则e2=7，解得e=$\sqrt{7}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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14．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其左、右焦点分别为F1，F2，点P是坐标平面内一点，且$|{\overrightarrow{OP}}|=\frac{{\sqrt{7}}}{2}，\overrightarrow{P{F_1}}•{\overrightarrow{PF}_2}=\frac{3}{4}$，其中O为坐标原点．
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12．已知函数f（x）=|2x-1|，x∈R．
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（Ⅱ）若对于x，y∈R，有|x-y-1|≤$\frac{1}{3}$，|2y+1|≤$\frac{1}{6}$，求证：f（x）＜1．
19．已知函数f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）+m（m∈R），当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最小值为-1．
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9．已知复数z满足：$\frac{{z（1+i）{i^3}}}{2-i}=1-i$则复数$\overline z$的虚部为（　　）
A．iB．-iC．1D．-1
16．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{e^x}，x≥-1}\\{ln（-x），x＜-1}\end{array}}\right.$，则“x=0”是“f（x）=1”的（　　）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
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A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件

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