Question

设函数f（x）=ax²+bx+c的系数a，b，c都是正实数，且f（1）=1．
（1）若x＞0，证明：f（x）f（

1

x

）≥1；
（2）若正实数x₁，x₂，x₃满足x₁x₂x₃=1，证明：f（x₁）f（x₂）f（x₃）≥1．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（x）f（

1

x

）=a²+b²+c²+abx+

ab

x

+bcx+

bc

x

+acx²+

ac

x2

，由此利用均值定理能证明f（x）f（

1

x

）≥1．
（2）对任意x₁，x₂，f（x₁）f（x₂）≥f（x₁x₂），由此能证明f（x₁）f（x₂）f（x₃）≥f（x₁x₂）f（x₃）≥f（x₁x₂x₃）=f（1）=1．

解答： （1）证明：∵函数f（x）=ax²+bx+c的系数a，b，c都是正实数，且f（1）=1，
∴f（x）f（

1

x

）=a²+b²+c²+abx+

ab

x

+bcx+

bc

x

+acx²+

ac

x2

≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
=（a+b）²+c²+2c（a+b）
=（1-c）²+c²+2c（1-c）=1．
∴f（x）f（

1

x

）≥1．
（2）证明：∵正实数x₁，x₂，x₃满足x₁x₂x₃=1，且f（1）=1．
对任意x₁，x₂，f（x₁）f（x₂）=（ax₁²+bx₁+c）（ax₂²+bx₂+c）
=a2(x1x2)2+abx₁x₂²+acx₂²+abx₁²x₂+b²x₁x₂+bcx₂+acx 12+bcx₁+c²
≥a（x₁x₂）²+bx₁x₂+c=f（x₁x₂），
∴f（x₁）f（x₂）f（x₃）≥f（x₁x₂）f（x₃）≥f（x₁x₂x₃）=f（1）=1．
∴f（x₁）f（x₂）f（x₃）≥1．

点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意二次函数的性质和均值定理的合理运用．