Question

4．已知m，n为实常数，函数f（x）=x⁴+mx²+n．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（0）=2，设函数f（x）的最小值为g（m），求函数g（m）的表达式及g（m）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的定义进行判断；
（2）分析f（x），得到其最值，从而得到g（m）的解析式，进一步求其区域即可．

解答 （1）证明：f（-x）=（-x）⁴+m（-x）²+n=x⁴+mx²+n=f（x），所以函数f（x）为偶函数．
（2）f（0）=2，则n=2，设函数f（x）=x⁴+mx²+2=（x²+$\frac{m}{2}$）²+2-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
当m≥0时，f（x）的最小值为2，；
当m＜0时，f（x）的最小值为2-$\frac{{m}^{2}}{4}$；
所以g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{2，m≥0}\\{2-\frac{{m}^{2}}{4}，m＜0}\end{array}\right.$，所以g（m）的值域为（-∞，2]．

点评 本题考查了函数的奇偶性的判断以及函数的值域；考查二次函数的单调性以及讨论的数学思想．