Question

已知函数f(x)=

3

2

sinx+

1

2

cosx（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期； 
（2）求函数f（x）的最大值和最小值；
（3）若x∈[0，

π

2

]，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：先将函数利用辅助角公式化简，
（1）利用T=

2π

ω

求周期；
（2）利用正弦函数的性质求得函数的最大值与最小值；
（3）根据x∈[0，

π

2

]，可得x+

π

6

∈[

π

6

， 

2π

3

]，再利用正弦函数的性质求得函数的最大值与最小值；

解答：解：f(x)=

3

2

sinx+

1

2

cosx=cos

π

6

sinx+ sin

π

6

cosx=sin(x+

π

6

)
（1）T=

2π

1

=2π；
（2）当x=

π

3

+2kπ(k∈Z)时，函数f（x）的最大值为sin(x+

π

6

)=1；
当x=-

2π

3

+2kπ(k∈Z)时，函数f（x）的最小值为sin(x+

π

6

)=-1；
（3）∵x∈[0，

π

2

]
∴x+

π

6

∈[

π

6

， 

2π

3

]
∴x=0时，函数f（x）的最小值为sin(x+

π

6

)= sin

π

6

=

1

2

x=

π

3

时，函数f（x）的最大值为sin(x+

π

6

)= sin

π

2

=1

点评：本题考查的重点是三角函数的性质，解题的关键是将函数利用辅助角公式化简，利用正弦函数的性质进行解决．