Question

17．设f（x）定义在R上的函数，且对任意m，n有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1
（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，有f（x）＞1
（2）判断f（x）在R上的单调性．

Answer 1

分析 （1）令m=1，n=0，得出f（1）=f（1）•f（0 ），再结合当x＞0时，0＜f（x）＜1．得出f（0）=1
（2）设x₁＞x₂，由已知得出f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂ ）•f（x₂），且能得出0＜f（x₁-x₂）＜1，确定出f（x₁）＜f（x₂）后即可判断出函数f（x）在R上单调递减．

解答 解：（1）证明：令m=1，n=0则f（1）=f（1）•f（0）又0＜f（1）＜1∴f（0）=1
取m＜0，n=-m，代入恒等式得f（m）•f（-m）=f（0）=1，
又x＞0时，0＜f（x）＜1，所以有0＜f（-m）＜1
由上f（m）•f（-m）=1，∴$f（m）=\frac{1}{f（-m）}＞1$，即当x＜0时有f（x）＞1，
所以有x＜0时，f（x）＜1
（2）函数为减函数，
理由如下：设x₂＞x₁则x₂-x₁＞0，∵当x＞0时，0＜f（x）＜1．∴0＜f（x₂-x₁）＜1，
∴f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）•f（x₂-x₁）＜f（x₁）
∴函数f（x）是R上的减函数
所以，函数f（x）在R上单调递减．

点评 本题主要考查了抽象函数表达式反映函数性质及抽象函数表达式的应用，函数单调性的定义及其证明，利用函数性质和函数的单调性解不等式的方法，转化化归的思想方法