Question

已知0＜α＜

π

2

＜β＜π，tan

α

2

=

1

2

，cos（α-β）=

2

10

，则β的值为（　　）

• A、

  π

  4

• B、

  3π

  4

• C、

  π

  2

• D、

  2π

  3

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由已知得sin（α-β）=-

1- 2 100

=-

7 2

10

，tanα=

4

3

，cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，由sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β），能求出β的值．

解答： 解：∵0＜α＜

π

2

＜β＜π，tan

α

2

=

1

2

，cos（α-β）=

2

10

，
∴-π＜α-β＜0，
∴sin（α-β）=-

1- 2 100

=-

7 2

10

，
tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

=

2× 1 2

1-( 1 2 )2

=

4

3

，
∴cosα=

1 tan2+1

=

1 16 9 +1

=

3

5

，
sinα=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，
∴sinβ=sin[α-（α-β）]
=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）=

4

5

×

2

10

+

3

5

×

7 2

10

=

2

2

．
∴β=

3π

4

．
故选：B．

点评：本题考查角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正切二倍角公式和两角和与差的正弦函数公式的合理运用．