Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，其中.

（Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）在平面直角坐标系中，设直线与曲线相交于，两点.若点恰为线段的三等分点，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用消参法消去参数，即可将直线的参数方程转化为普通方程，利用互化公式，，将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（Ⅱ）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得出关于的一元二次方程，根据韦达定理得出和，再利用直线参数方程中的参数的几何意义，即可求出的值.

解：（Ⅰ）由于直线的参数方程为（为参数），

消去参数，得直线的普通方程为，

由，，

得曲线的直角坐标方程为.

（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，

并整理，得，

设，是方程的两个根，则有，

得，，

由于点恰为线段的三等分点，

所以不妨设，

∴，

解得：，符合条件和，

.∴的值为4.