Question

如图，在长方体中，

，点在棱上移动 

 （Ⅰ）证明：；

 （Ⅱ）当为的中点时，求点到面的距离；

 （Ⅲ）等于何值时，二面角的大小为 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】本小题主要考查向量语言表述线线的垂直、平行关系、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．

（1）建立如图的坐标系，则

DA1

=(1，0，1)，设E（1，t，0），则

D1E

=(1，t，-1)，通过向量的数量积为0，计算可得D₁E⊥A₁D；

（2）当E为AB的中点时，E（1，1，0），

D1E

=(1，1，-1)，求出平面ACD₁的一个法向量，最后利用点到面的距离公式即可求点E到面ACD₁的距离．

（3）（2）连接DE，根据等腰直角三角形的性质，及线面垂直的判定和性质，可得DE⊥EC，D₁E⊥EC，进而由∠D₁ED即为二面角D₁-EC-D的平面角，解三角形D₁ED即可得到二面角D₁-EC-D的大小；

解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则

（Ⅰ）        ………4分

（Ⅱ）因为为的中点，则，从而，

，设平面的法向量为，则

也即，得，从而，所以点到平面的距离为            ………8分

（Ⅲ）设平面的法向量，

  ∴

由  令，

∴

依题意

∴（不合，舍去），  

∴时，二面角的大小为        ………12分