Question

若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得（x²-3x）f（x）＜0的x的取值范围为

（-2，0）∪（2，3）

．

Answer 1

分析：根据f（x）的奇偶性及在（-∞，0]上的单调性可判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，再由f（x）图象上的特殊点可作出f（x）在R上的草图，根据图象可解得不等式．

解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是减函数，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∵f（2）=0，∴f（-2）=f（2）=0，
作出函数f（x）在R上的草图，如图所示：
由图象知，（x²-3x）f（x）＜0?

x2-3x＞0 f(x)＜0

或

x2-3x＜0 f(x)＞0

?

x＜0或x＞3 -2＜x＜2

或

0＜x＜3 x＜-2或x＞2

?-2＜x＜0或2＜x＜3，
∴使得（x²-3x）f（x）＜0的x的取值范围为（-2，0）∪（2，3），
故答案为：（-2，0）∪（2，3）．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查数形结合思想，考查学生综合运用知识解决问题的能力．