Question

设向量

a

=（λ+2，λ²-

3

cos2α），

b

=（m，

m

2

+sinαcosα），其中λ，m，α为实数，

a

=2

b

，则λm的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：向量数乘的运算及其几何意义

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：根据

a

=2

b

，结合三角函数的恒等变换，求出m的取值范围，再求λm的取值范围即可．

解答： 解：∵向量

a

=（λ+2，λ²-

3

cos2α），

b

=（m，

m

2

+sinαcosα），且

a

=2

b

，
∴

λ+2=2m…① λ2- 3 cos2α=2( m 2 +sinαcosα)…②

，
把①代入②得，（2m-2）²-

3

cos2α=m+sin2α，
∴4m²-9m+4=sin2α+

3

cos2α=2sin（2α+

π

3

），
∴-2≤4m²-9m+4≤2；
解得

1

4

≤m≤2；
∴λm=（2m-2）m=2m²-2m=2(m-

1

2

)2-

1

2

，
当m=

1

2

时，有最小值（λm）_min=-

1

2

，
当m=2时，有最大值（λm）_max=4，
∴λm的取值范围是[-

1

2

，4]．
故答案为：[-

1

2

，4]．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，还考查了求函数的最值问题，是综合题．