Question

设数列{a_n}前n项和S_n，且S_n=2a_n-2，令b_n=log₂a_n
（Ⅰ）试求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=

bn

an

，求证数列{c_n}的前n项和T_n＜2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列{c_n}的前n项和T_n，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
所以，a_n=2a_n-1，即

an

an-1

=2，…（3分）
当n=1时，S₁=2a₁-2，a₁=2，…（4分）
由等比数列的定义知，数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，数列{a_n}的通项公式为an=2×2n-1=2n，n∈N+．…（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知cn=

n

an

=

n

2n

，…（8分）
所以Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，①
以上等式两边同乘以

1

2

，得

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，②
①-②，得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-(

1

2

)n-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

，
所以Tn=2-

n+2

2n

．
所以T_n＜2．…（12分）

点评：本题考查等比数列的通项，考查数列的求和，考查错位相减法的运用，属于中档题．