Question

：数列满足：，.
（Ⅰ）若数列为常数列，求的值；
（Ⅱ）若，求证：；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列单调递减.

Answer 1

：略

：解：（Ⅰ）因为数列为常数列，
所以，
解得或
由的任意性知，或.
所以，
或.                                               ………………… 3 分
（Ⅱ）用数学归纳法证明.
①      当时，，
符合上式.                                    ………………… 4 分
② 假设当时，，
因为，
所以，即.
从而，即.
因为，
所以，当时，成立.
由①，②知，.                            ………………… 9分
（Ⅲ）因为
 ()，
所以只要证明.
由（Ⅱ）可知，，
所以只要证明，
即只要证明. …………………12分
令，
，
所以函数在上单调递增. ………………… 14分
因为，
所以，即成立.
故.
所以数列单调递减.                             ………………… 16分