Question

14．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积为V_球=$\frac{160\sqrt{5}π}{3}$，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 过球心O作平面ABCD的垂线OG，则G为正方形中心，∠OAG为OA与平面ABCD所成的角，求出球的半径OA，再求出AG，即可得出所求角的余弦值．

解答 解：如图，

设球O的半径为R，由V_球=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{160\sqrt{5}π}{3}$，
得${R}^{3}=\sqrt{8000}$，∴R=$2\sqrt{5}$，即OA=$2\sqrt{5}$．
设正方形ABCD的中心为G，连接OG，则OG⊥平面ABCD，
且AG=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$．
∴OA与平面ABCD所成的角的余弦值为$\frac{AG}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故选：A．

点评 本题考查了线面角的计算，球的结构特征，属于基础题．