题目内容
9．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上的一点，若|AF1|=2|AF2|，则cos∠F1AF2=（ ）| A． | -$\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | -$\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
分析 根据双曲线的定义结合余弦定理进行转化求解即可．
解答 
解：∵|AF1|=2|AF2|，
∴点A在双曲线的右支上，
∵|AF1|-|AF2|=2|AF2|-|AF2|=|AF2|=2a，
∴|AF1|=4a，
∵双曲线的离心率为$\sqrt{3}$，
∴e=$\sqrt{3}$，
则cos∠F1AF2=$\frac{A{{F}_{1}}^{2}+A{{F}_{2}}^{2}-{F}_{1}{F}_{2}}{2A{F}_{1}A{F}_{2}}$=$\frac{16{a}^{2}+4{a}^{2}-4{c}^{2}}{2×2a•4a}$=$\frac{20{a}^{2}-4{c}^{2}}{16{a}^{2}}$=$\frac{20}{16}$-$\frac{1}{4}$•$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{4}$•e2=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{4}$×3=$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
故选：D
点评 本题主要考查双曲线的性质以及余弦定理的应用，根据条件结合双曲线的定义建立方程关系是解决本题的关键．
练习册系列答案
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20．曲线y=2x-ln x在点（1，2）处的切线方程为（ ）
| A． | x-y+1=0 | B． | x+y+1=0 | C． | x+y-1=0 | D． | x-y-1=0 |
17．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为$\left\{\begin{array}{l}x'=\frac{1}{2}x\\ y'=3y\end{array}\right.$，则在这一坐标变换下正弦曲线y=sinx的方程变换为（ ）
| A． | y=3sin2x | B． | y=3sin$\frac{1}{2}$x | C． | $y=\frac{1}{3}sin2x$ | D． | $y=\frac{1}{3}sin\frac{1}{2}x$ |
1．
在物理实验中，为了研究所挂物体的重量x对弹簧长度y的影响．某学生通过实验测量得到物体的重量与弹簧长度的对比表：
（1）画出散点图；
（2）利用所给的参考公式，求y对x的回归直线方程；
（3）预测所挂物体重量为8g时的弹簧长度．
参考公式：
1．样本数据x1，x2，…xn的标准差
s=$\sqrt{\frac{1}{n}[（{{x}_{1}-\overline{x}）}^{2}+（{x}_{2}-\overline{x}）^{2}+…+（{x}_{n}-\overline{x}）^{2}]}$，其中$\overline{x}$为样本的平均数；
2．线性回归方程系数公式$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n•\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．
在物理实验中，为了研究所挂物体的重量x对弹簧长度y的影响．某学生通过实验测量得到物体的重量与弹簧长度的对比表：| 物体重量（单位g） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 弹簧长度（单位cm） | 1.5 | 3 | 4 | 5 | 6.5 |
（2）利用所给的参考公式，求y对x的回归直线方程；
（3）预测所挂物体重量为8g时的弹簧长度．
参考公式：
1．样本数据x1，x2，…xn的标准差
s=$\sqrt{\frac{1}{n}[（{{x}_{1}-\overline{x}）}^{2}+（{x}_{2}-\overline{x}）^{2}+…+（{x}_{n}-\overline{x}）^{2}]}$，其中$\overline{x}$为样本的平均数；
2．线性回归方程系数公式$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n•\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．
18．
双曲线：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的离心率为m，记函数y=x2与y=mx的图象所围成的阴影部分的面积为S（如图所示），任取x∈[0，2]，y∈[0，4]，则点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为（ ）
双曲线：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的离心率为m，记函数y=x2与y=mx的图象所围成的阴影部分的面积为S（如图所示），任取x∈[0，2]，y∈[0，4]，则点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为（ ）| A． | $\frac{17}{96}$ | B． | $\frac{5}{32}$ | C． | $\frac{1}{6}$ | D． | $\frac{7}{48}$ |
19．记抛物线f（x）=x-x2与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y=$\frac{1}{3}$x所围成的平面区域为A，若向区域M内随机抛掷一点P，则点P落在区域A的概率为（ ）
| A． | $\frac{8}{27}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{2}{9}$ | D． | $\frac{7}{27}$ |