Question

正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是对角线AC上一动点．

（1）如图1，当点P在线段OA上运动时(不与点A、O重合) ，PE⊥PB交线段CD于点E，PF⊥CD于点E．

①判断线段DF、EF的数量关系，并说明理由；

②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；

（2）如图2，当点P在线段OC上运动时(不与点O、C重合)，PE⊥PB交直线CD于点E，PF⊥CD于点E．判断（1）中的结论①、②是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出相应的结论并证明．

 

Answer 1

【答案】

（1）①DF=EF ②PC－PA=CE

（2）结论①成立, 结论②不成立，

【解析】

试题分析：（1）①DF=EF                                                     …1分

理由如下：连接PD，因为AB=AD,AP=AP,∠BAP=∠DAP=45°,

所以,

所以,

因为,所以在四边形中,

因为，所以,

因为所以（等腰三角形底边垂线即底边平分线）.           …4分

②,同理,

所以,

因为所以                                       …7分

（2）结论①成立                                                           …8分

理由同（1）①即可；                                                       …9分

结论②不成立.                                                             …10分

相应的结论为PA－PC=CE                                             …11分

证明同（1）②.                                                          … 12分

考点：本小题主要考查平面图形中的探究性问题，考查学生综合运用平面几何知识解决问题的能力.

点评：对于此类问题，要灵活运用平面几何知识（平行、相似、全等等），要注意恰当转化.