Question

如图，边长为1的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A₁．

（1）求证：A₁D⊥EF；
（2）求三棱锥A₁-DEF的体积．

Answer 1

分析：（1）由正方形ABCD知∠DCF=∠DAE=90°，得A₁D⊥A₁F且A₁D⊥A₁E，所以A₁D⊥平面A₁EF．结合EF?平面A₁EF，得A₁D⊥EF；
（2）由勾股定理的逆定理，得△A₁EF是以EF为斜边的直角三角形，而A₁D是三棱锥D-A₁EF的高线，可以算出三棱锥D-A₁EF的体积，即为三棱锥A₁-DEF的体积．

解答：解：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，
∴A₁D⊥A₁F，A₁D⊥A₁E，
∵A₁E∩A₁F=A₁，A₁E、A₁F⊆平面A₁EF．
∴A₁D⊥平面A₁EF．
又∵EF?平面A₁EF，
∴A₁D⊥EF．
（2）∵A₁F=A₁E=

1

2

，EF=

2

2

∴A₁F²+A₁E²=

1

2

=EF²，得A₁E⊥A₁F，
∴△A₁EF的面积为S△A1EF=

1

8

，
∵A₁D⊥平面A₁EF．
∴A₁D是三棱锥D-A₁EF的底面A₁EF上的高线，
因此，三棱锥A₁-DEF的体积为：VA1-DEF=VD-A1EF=

1

3

S△A1EF•A1D=

1

24

．

点评：本题以正方形的翻折为载体，证明两直线异面垂直并且求三棱锥的体积，着重考查空间垂直关系的证明和锥体体积公式等知识，属于中档题．