Question

如图1，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A'，连接EF，A'B（如图2）．

（1）求证：A'D⊥EF；
（2）求点A'到平面BEDF的距离．

Answer 1

分析：（1）根据折叠前AD⊥AE，CD⊥CF，可得折叠后A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，再由纡面垂直的判定定理可得A'D⊥平面A'EF，再由线面垂直的性质可得A'D⊥EF；
（2）利用割补法求出四边形BEDF的面积，及三角形BEF和三角形DEF的面积，求出三棱锥A'DEF的体积后，利用等积法，可求出点A'到平面BEDF的距离．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF…（1分）
则A'D⊥A'E，A'D⊥A'F…（2分）
又A'E∩A'F=A'，A'E，A'F?平面A'EF…（3分）
∴A'D⊥平面A'EF…（4分）
而EF?平面A'EF，
∴A'D⊥EF…（5分）
（2）∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点
∴S四边形BEDF=

1

2

S正方形ABCD=

1

2

×22=2…（6分）
∵S△BEF=

1

2

×1×1=

1

2

…（7分）
∴S△DEF=2-

1

2

=

3

2

…（8分）
在Rt△BEF中，BE=BF=1，∴EF=

2

而A'E=A'F=1，
∴A'E²+A'F²=EF²…（9分）
∴S△A′EF=

1

2

×1×1=

1

2

…（10分）
由（1）得A'D⊥平面A'EF，且A'D=2，
∴VD-A′EF=

1

3

S△A′EFA′D=

1

3

×

1

2

×2=

1

3

…（11分）
设点A'到平面BEDF的距离为h，则VA′-DEF=

1

3

S△DEFh=

1

3

•

3

2

•h=

1

3

…（12分）
∴h=

2

3

…（13分）
∴点A'到平面BEDF的距离为

2

3

…（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，点到平面的距离，其中（1）的关键是弄清折叠前后不变的线线垂直关系，（2）的关键是求出三棱锥A'DEF的体积