Question

11．某市容局规定：如天不降雨，则洒水车要在街道洒水，现由天气预报得知某地未来3天降雨概率是：第1天为60%，后2天均为50%，3天内任何一天没有降雨则在当天实施洒水，否则当天不实施洒水．
（Ⅰ）求至少有1天需要实施洒水的概率；
（Ⅱ）求不需要实施洒水的天数x的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）至少有1天需要实施洒水的对立事件是三天都降雨，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1天需要实施洒水的概率．
（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）至少有1天需要实施洒水的对立事件是三天都降雨，
∴至少有1天需要实施洒水的概率p=1-$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{17}{20}$．
（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=0.1，
P（X=1）=$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=0.35，
P（X=2）=$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=0.4，
P（X=3）=$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=0.15，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	0.1	0.35	0.4	0.15

EX=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6．

点评 本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归转化思想，是中档题．