题目内容
已知f(x)=
x3-x2+ax+m，其中a＞0，如果存在实数t，使f'（t）＜0，则f′(t+2)•f′(
)的值（ ）
| 1 |
| 3 |
| 2t+1 |
| 3 |
分析：先对f（x）求导，由已知条件a＞0，如果存在实数t，使f'（t）＜0，求出t与a的取值范围，进而比较出f′(
)、f′（t+2）与0的关系，从而得出答案．
| 2t+1 |
| 3 |
解答：解：∵f(x)=
x3-x2+ax+m，∴f′（x）=x2-2x+a．
∵存在实数t，使f'（t）＜0，a＞0，∴t2-2t+a＜0的解集不是空集，
∴△=4-4a＞0，解得a＜1，因此0＜a＜1．
令t2-2t+a=0，解得t=1±
，
∴t2-2t+a＜0的解集是{x|0＜1-
＜t＜1+
＜2}．
∵f′（t+2）=（t+2）2-2（t+2）+a=t（t+2）+a，∴f′（t+2）＞0；
∵f′(
)=(
)2-2×
+a=
+a，
∴f′(t)-f′(
)=t2-2t-
=
≥0，
∴f′(
)≤f′(t)＜0，
∴f′(t+2)•f′(
)＜0，
故选B．
| 1 |
| 3 |
∵存在实数t，使f'（t）＜0，a＞0，∴t2-2t+a＜0的解集不是空集，
∴△=4-4a＞0，解得a＜1，因此0＜a＜1．
令t2-2t+a=0，解得t=1±
| 1-a |
∴t2-2t+a＜0的解集是{x|0＜1-
| 1-a |
| 1-a |
∵f′（t+2）=（t+2）2-2（t+2）+a=t（t+2）+a，∴f′（t+2）＞0；
∵f′(
| 2t+1 |
| 3 |
| 2t+1 |
| 3 |
| 2t+1 |
| 3 |
| 4t2-8t-5 |
| 9 |
∴f′(t)-f′(
| 2t+1 |
| 3 |
| 4t2-8t-5 |
| 9 |
| 5(t-1)2 |
| 9 |
∴f′(
| 2t+1 |
| 3 |
∴f′(t+2)•f′(
| 2t+1 |
| 3 |
故选B．
点评：由已知得出a与t的取值范围和利用作差法比较两个数的大小是解题的关键．
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