Question

已知f（x）=|x+3|+|x-7|的最小值为m，则(

x

-

1

3 x

)m展开式中的常数项是

 

．

Answer 1

分析：由绝对值不等式可得f（x）的最小值，可得m的值；将m代入(

x

-

1

3 x

)m中，进而可得其二项展开式为（-1）^r•C₁₀^10-r•x

30-5r

6

，令

30-5r

6

=0，可得r=6；代入二项展开式，可得答案．

解答：解：由绝对值不等式可得f（x）=|x+3|+|x-7|≥|3-（-7）|=10，
则其最小值为10，故m=10；
则（

x

-

1

3 x

）¹⁰的展开式为T_r+1=C₁₀^10-r•（

x

）^10-r•（-

1

3 x

）^r=（-1）^r•C₁₀^10-r•x

30-5r

6

，
令

30-5r

6

=0，可得r=6；
则其常数项为（-1）⁶•C₁₀⁴=210，
故答案为210．

点评：本题考查二项式定理的应用，涉及绝对值的意义与化简，有一定的难度．