Question

已知f(x)=

x2+1

3x+p

是奇函数．
（1）求实数p的值；
（2）判断函数f（x）在（-∞，-1）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由题意可知，f（-x）=-f（x），代入已知函数中即可求p
（2）利用单调性的定义，任取x₁＜x₂＜-1，然后通过作差法比较f（x₁）-f（x₂）的正负即可判断

解答：解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）…（1分）
即

x2+1

-3x+p

=-

x2+1

3x+p

，…（2分）
∴

x2+1

-3x+p

=

x2+1

-3x-p

，
从而p=0；              …（5分）
（2）f(x)=

x2+1

3x

在（-∞，1）上是单调增函数．…（6分）
证明：f(x)=

x2+1

3x

，任取x₁＜x₂＜-1，则         …（7分）
f(x1)-f(x2)=

x 2 1 +1

3x1

-

x 2 2 +1

3x2

=

x 2 1 x2+x2- x 2 2 x1-x1

3x1x2

…（8分）
=

x1x2(x1-x2)-(x1-x2)

3x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

3x1x2

，…（10分）
∵x₁＜x₂＜-1，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0，…（11分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1）上是单调增函数．…（12分）

点评：本题主要考查了利用奇函数的定义求解函数解析式及函数的单调性的定义在单调性的判断中的应用，要注意基本运算