Question

12．z=1+i
（1）设ω=z²+3$\overline{z}$-4，求ω三角形式；
（2）如果$\frac{{z}^{2}+az+b}{{z}^{2}-z+1}$=1-i，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）把复数的具体形式代入所给的z²+3$\overline{z}$-4，根据乘方和共轭复数，算出ω的值，提出复数的模长，把代数形式变化为三角形式．
（2）先进行复数的乘除运算，把具体的复数的值代入，整理成最简形式，得到复数相等的条件，使得复数的实部和虚部分别相等，得到关于a和b的方程组，解方程组即可．

解答 解：（1）由z=1+i，有
ω=z²+3$\overline{z}$-4=（1+i）²+3（1-i）-4
=2i+3（1-i）-4=-1-i，
ω的三角形式是$\sqrt{2}$（cos$\frac{5π}{4}$+isin$\frac{5π}{4}$）．
（2）由$\frac{{z}^{2}+az+b}{{z}^{2}-z+1}$=1-i，得到z²+az+b=（1-i）（z²-z+1），
∴（1+i）²+a（1+i）+b=（1-i）[（1+i）²-1-i+1]，
∴2i+a+ai+b=i+1，
∴ai+a+b=-i+1，
根据复数相等的定义，得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{a+b=1}\end{array}\right.$
解得a=-1，b=2．

点评 本小题考查共轭复数、复数的三角形式，复数的混合运算等基础知识及运算能力．是一个综合题，解题的关键是整理过程千万不要出错．