题目内容

某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为 $数学公式$ ，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为 $数学公式$ ．
（I ）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；
（II）记游戏A、B被闯关成功的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．

解：（I）设“i个人游戏A闯关成功”为事件A_i（i=0，1，2），“j个人游戏B闯关成功”为事件B_j（j=0，1，2），
则“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A₁B₀+A₂B₁+A₂B₀．
∴P（A₁B₀+A₂B₁+A₂B₀）=P（A₁B₀）+P（A₂B₁）+P（A₂B₀）=P（A₁）•P（B₀）+P（A₂）•P（B₁）+P（A₂）•P（B₀）
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
即游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率为 $\text{[math]}$ ．…（4分）
（II）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4．
P（ξ=0）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，P（ξ=1）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
P（ξ=2）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
P（ξ=3）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
P（ξ=4）= $\text{[math]}$ ．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

…（10分）
∴Eξ=0× $\text{[math]}$ +1× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +4× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ． …（12分）
分析：（I）设“i个人游戏A闯关成功”为事件A_i（i=0，1，2），“j个人游戏B闯关成功”为事件B_j（j=0，1，2），则“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A₁B₀+A₂B₁+A₂B₀，利用互斥事件概率公式，可求得结论；
（II）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列和期望．
点评：本题考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，求出概率是关键．