题目内容

某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为 $数学公式$ ，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为 $数学公式$ ．
（I）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；
（II）求游戏A、B被闯关成功的总人数为3的概率．

解：设“i个人游戏A闯关成功”为事件A_i（i=0，1，2），“j个人游戏B闯关成功”为事件B_j（j=0，1，2），
（I）“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A₁B₀+A₂B₁+A₂B₀．
∴P（A₁B₀+A₂B₁+A₂B₀）=P（A₁B₀）+P（A₂B₁）+P（A₂B₀）
=P（A₁）•P（B₀）+P（A₂）•P（B₁）+P（A₂）•P（B₀）
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
即游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率为 $\text{[math]}$ ． …（6分）
（II）“游戏A、B被闯关成功的总人数为3”为A₂B₁+A₁B₂．
∴P（A₂B₁+A₁B₂）=P（A₂B₁）+P（A₁B₂）=P（A₂）•P（B₁）+P（A₁）•P（B₂）
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
即游戏A、B被闯关成功的总人数为3的概率为 $\text{[math]}$ ． …（12分）
分析：设“i个人游戏A闯关成功”为事件A_i（i=0，1，2），“j个人游戏B闯关成功”为事件B_j（j=0，1，2），
（I）“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A₁B₀+A₂B₁+A₂B₀，利用独立重复试验的概率公式及互斥事件的概率公式可求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率；
（II）“游戏A、B被闯关成功的总人数为3”为A₂B₁+A₁B₂，利用独立重复试验的概率公式及互斥事件的概率公式可求
游戏A、B被闯关成功的总人数为3的概率．
点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．