题目内容

（2012•绵阳三模）某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为
1
2
，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为
2
3
．
（I ）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；
（II） 记游戏A、B被闯关成功的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．
分析：（I）设“i个人游戏A闯关成功”为事件Ai（i=0，1，2），“j个人游戏B闯关成功”为事件Bj（j=0，1，2），则“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A1B0+A2B1+A2B0，利用互斥事件概率公式，可求得结论；
（II）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列和期望．
解答：解：（I）设“i个人游戏A闯关成功”为事件Ai（i=0，1，2），“j个人游戏B闯关成功”为事件Bj（j=0，1，2），
则“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A1B0+A2B1+A2B0．
∴P（A1B0+A2B1+A2B0）=P（A1B0）+P（A2B1）+P（A2B0）=P（A1）•P（B0）+P（A2）•P（B1）+P（A2）•P（B0）
=
C
1
2
×
1
2
×
1
2
×C
0
2
×(
2
3
)0(
1
3
)2+
C
2
2
×(
1
2
)2×(
1
2
)0
×C
1
2
×(
2
3
)1(
1
3
)1+
C
2
2
×(
1
2
)2×
C
0
2
×(
1
3
)2=
7
36
．
即游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率为
7
36
．…（4分）
（II）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=
C
0
2
×(
1
2
)2×
C
0
2
×(
1
3
)2=
1
36
，P（ξ=1）=
C
1
2
×
1
2
×
1
2
×C
2
2
×(
1
3
)2+
C
0
2
×(
1
2
)2
×C
1
2
×(
2
3
)1(
1
3
)1=
1
6

P（ξ=2）=
C
2
2
×(
1
2
)2×
C
2
2
×(
1
3
)2+
C
2
2
×(
1
3
)2×
C
2
2
×(
1
2
)2+
C
1
2
×
1
2
×
1
2
×C
1
2
×(
2
3
) ×(
1
3
) =
13
36

P（ξ=3）=
C
2
2
×(
1
2
)2×
C
1
2
×
2
3
×
1
3
+
C
2
2
×(
2
3
)2×
C
1
2
×
1
2
×
1
2
=
1
3

P（ξ=4）=(
1
2
)2×(
2
3
)2=
1
9
．
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 4
P
1
36
1
6
13
36
1
3
1
9
…（10分）
∴Eξ=0×
1
36
+1×
1
6
+2×
13
36
+3×
1
3
+4×
1
9
=
7
3
．        …（12分）
点评：本题考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，求出概率是关键．
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