题目内容
某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为
，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为
．（I ）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；
（II） 记游戏A、B被闯关成功的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．
【答案】分析：（I）设“i个人游戏A闯关成功”为事件Ai（i=0，1，2），“j个人游戏B闯关成功”为事件Bj（j=0，1，2），则“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A1B+A2B1+A2B，利用互斥事件概率公式，可求得结论；
（II）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列和期望．
解答：解：（I）设“i个人游戏A闯关成功”为事件Ai（i=0，1，2），“j个人游戏B闯关成功”为事件Bj（j=0，1，2），
则“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A1B+A2B1+A2B．
∴P（A1B+A2B1+A2B）=P（A1B）+P（A2B1）+P（A2B）=P（A1）•P（B）+P（A2）•P（B1）+P（A2）•P（B）
=
+
+
=
．
即游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率为
．…（4分）
（II）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=
=
，P（ξ=1）=
+
=
P（ξ=2）=
+
+
=
P（ξ=3）=
+
=
P（ξ=4）=
．
∴ξ的分布列为：
…（10分）
∴Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
=
． …（12分）
点评：本题考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，求出概率是关键．
（II）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列和期望．
解答：解：（I）设“i个人游戏A闯关成功”为事件Ai（i=0，1，2），“j个人游戏B闯关成功”为事件Bj（j=0，1，2），
则“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A1B+A2B1+A2B．
∴P（A1B+A2B1+A2B）=P（A1B）+P（A2B1）+P（A2B）=P（A1）•P（B）+P（A2）•P（B1）+P（A2）•P（B）
=
++=．即游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率为
．…（4分）（II）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=
=，P（ξ=1）=+=P（ξ=2）=
++=P（ξ=3）=
+=P（ξ=4）=
．∴ξ的分布列为：
| ξ | 1 | 2 | 3 | 4 | |
| P |  |  |  |  |  |
∴Eξ=0×
+1×+2×+3×+4×=． …（12分）点评：本题考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，求出概率是关键．
练习册系列答案
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，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为
.
，求
的分布列和期望.
，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为
．