题目内容

（2012•绵阳三模）某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为
1
2
，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为
2
3
．
（I）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；
（II）求游戏A、B被闯关成功的总人数为3的概率．
分析：设“i个人游戏A闯关成功”为事件Ai（i=0，1，2），“j个人游戏B闯关成功”为事件Bj（j=0，1，2），
（I）“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A1B0+A2B1+A2B0，利用独立重复试验的概率公式及互斥事件的概率公式可求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率；
（II）“游戏A、B被闯关成功的总人数为3”为A2B1+A1B2，利用独立重复试验的概率公式及互斥事件的概率公式可求
游戏A、B被闯关成功的总人数为3的概率．
解答：解：设“i个人游戏A闯关成功”为事件Ai（i=0，1，2），“j个人游戏B闯关成功”为事件Bj（j=0，1，2），
（I）“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A1B0+A2B1+A2B0．
∴P（A1B0+A2B1+A2B0）=P（A1B0）+P（A2B1）+P（A2B0）
=P（A1）•P（B0）+P（A2）•P（B1）+P（A2）•P（B0）
=
C
1
2
×
1
2
×
1
2
×C
0
2
×(
2
3
)0×(
1
3
)2+
C
2
2
×(
1
2
)2×(
1
2
)0
×C
1
2
×
2
3
×
1
3
+
C
2
2
×(
1
2
)2×
C
0
2
×(
1
3
)2=
7
36

即游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率为
7
36
．  …（6分）
（II）“游戏A、B被闯关成功的总人数为3”为A2B1+A1B2．
∴P（A2B1+A1B2）=P（A2B1）+P（A1B2）=P（A2）•P（B1）+P（A1）•P（B2）
=
C
2
2
×(
1
2
)2
×C
1
2
×
2
3
×
1
3
+
C
2
2
×(
2
3
)2×
C
1
2
×
1
2
×
1
2
=
1
3
．
即游戏A、B被闯关成功的总人数为3的概率为
1
3
．   …（12分）
点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
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（0，-
1
4
）
（0，-
1
4
）
．
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π
2
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ax
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（2012•绵阳三模）某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为
1
2
，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为
2
3
．
（I ）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；
（II） 记游戏A、B被闯关成功的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．

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