Question

10．为研究质量x（单位：g）对弹簧长度y（单位：cm）的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如下表所示：

x/g	5	10	15	20	25	30
y/g	7.25	8.12	8.95	9.90	10.9	11.8

（1）作出散点图，并求出线性回归方程；
（2）求出R²；
（3）进行残差分析．

Answer 1

分析 （1）代入回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（2）根据公式计算R²；
（3）根据计算的R²的大小进行分析．

解答 解：（1）作出散点图如下：

$\overline{x}$=$\frac{1}{6}$×（5+10+15+20+25+30）=17.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$×（7.25+8.12+8.95+9.90+10.9+11.8）=9.49．
$\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=（-12.5）×（-2.24）+（-7.5）×（-1.37）+（-2.5）×（-0.54）+2.5×0.41+7.5×1.41+12.5×2.31=80.1．
$\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=（-12.5）²+（-7.5）²+（-2.5）²+2.5²+7.5²+12.5²=437.5．
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{80.1}{437.5}$≈0.18，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=6.34．
∴y关于x的线性回归方程是$\stackrel{∧}{y}$=0.18x+6.34．
（2）$\stackrel{∧}{y}$₁=7.24，$\stackrel{∧}{y}$₂=8.14，$\stackrel{∧}{y}$₃=9.04，$\stackrel{∧}{y}$₄=9.94，$\stackrel{∧}{y}$₅=10.84，$\stackrel{∧}{y}$₆=11.74．
$\sum_{i=1}^{6}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{y}）^{2}$=0.01²+0.02²+0.09²+0.04²+0.06²+0.06²=0.0174．
$\sum_{i=1}^{6}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}$=2.24²+1.37²+0.54²+0.41²+1.41²+2.31²=12.9384．
∴R²=1-$\frac{0.0174}{12.9386}$=0.999．
（3）∵R²=0.999，非常接近1，故用回归方程$\stackrel{∧}{y}$=0.18x+6.34模拟x，y间的关系的拟合效果非常好．

点评 本题考查了线性回归方程的解法，回归方程拟合效果分析，计算较复杂，属于中档题．