Question

已知函数f(x)=(

1

4

)x-(

1

2

)x（1≤x≤2）
（1）求(

1

2

)x（1≤x≤2）的取值范围；
（2）求f（x）的值域；
（3）若不等式(

1

4

)x-(

1

2

)x+a≥0在[1，2]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用指数函数的单调性求范围；
（2）利用换元法转化为二次函数求解；
（3）将a分离出来，然后求不等号右边的函数的最值即可．

解答： 解：（1）因为y=(

1

2

)x在定义域内是减函数，结合1≤x≤2，所以(

1

2

)2≤(

1

2

)x≤(

1

2

)1，即

1

4

≤(

1

2

)x≤

1

2

．
（2）令t=(

1

2

)x∈[

1

4

，

1

2

]．原函数化为：y=t²-t=(t-

1

2

)2-

1

4

．t∈[

1

4

，

1

2

]，
该函数在[

1

4

，

1

2

]上是减函数，所以当t=

1

2

时ymin=-

1

4

，t=

1

4

时，ymax=-

3

16

，故f（x）的值域为[-

1

4

，-

3

16

]．
（3）若(

1

4

)x-(

1

2

)x+a≥0在[1，2]上恒成立，即a≥-(

1

4

)x+(

1

2

)x=-[(

1

2

)x]2+(

1

2

)x．x∈[1，2]恒成立．
令t=(

1

2

)x∈[

1

4

，

1

2

]，则a≥-t2+t=-(t-

1

2

)2+

1

4

．t∈[

1

4

，

1

2

]恒成立，显然当t=

1

2

时，-t²+t取得最大值

1

4

．
故a的范围是[

1

4

，+∞）．

点评：本题考查了利用指数函数的单调性求值域，以及利用配方法求二次函数的最值的方法，不等式恒成立问题一般要转化为函数的最值问题求解．