Question

7．已知命题p：?x∈R，x²+1≥m；命题q：方程$\frac{x^2}{m-2}+\frac{y^2}{m+2}=1$表示双曲线．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若命题p为真命题，则（x²+1）_min≥m，进而得到实数m的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则p，q一个为真命题，一个为假命题，进而得到答案．

解答 解：（1）对于任意x∈R，x²+1≥1，
若命题p为真命题，则（x²+1）_min≥m，所以m≤1；…（5分）
（2）若命题q为真命题，则（m-2）（m+2）＜0，所以-2＜m＜2，…（8分）
因为命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
则p，q至少有一个假命题，所以p，q一个为真命题，一个为假命题．…（10分）
当命题p为真命题，命题q为假命题时，$\left\{\begin{array}{l}m≤1\\ m≤-2或m≥2\end{array}\right.$，则m≤-2，
当命题p为假命题，命题q为真命题时，$\left\{\begin{array}{l}m＞1\\-2＜m＜2\end{array}\right.$，则1＜m＜2，
综上，m≤-2或1＜m＜2．…（14分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数恒成立问题，复合命题，双曲线的标准方程等知识点，难度中档．